Nous comptons en décimal – c’est-à-dire des multiples de 10, ou base 10. Cela signifie que nous utilisons 10 symboles distincts pour écrire tous les nombres : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Peut-être qu’avoir 10 chiffres sur nos mains aide avec les maths. Mais comment lire les nombres binaires ? Les nombres avec des 0 et des 1.
Il n’en a pas toujours été ainsi – le duodécimal, ou base 12, était un système très populaire : 12 pouces au pied, 12 pence à un shilling, 12 signes du zodiaque, 12 mois dans une année et 2 x 12 heures dans une journée. En mathématiques duodécimales, nous utilisons 12 symboles pour écrire tous les nombres : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B. Le duodécimal est supérieur pour le calcul mental car il a quatre facteurs non triviaux : il est divisible par 2, 3, 4 et 6, par rapport au système décimal, qui n’a que deux facteurs non triviaux : 2 et 5.
Les nombres binaires
Mais les ordinateurs ne comptent pas les doigts et n’effectuent pas de calcul mental, ils fonctionnent à l’électricité, et ils ont donc besoin d’un moyen plus simple de compter. Leurs circuits logiques comprennent simplement on et off, ce qui signifie que le système de comptage natif des ordinateurs est binaire, ou base 2. Ils n’ont donc que deux symboles pour écrire tous les nombres : 0, 1. Ce n’est pas un problème, car utiliser le bon combinaison de 1 et de 0, nous pouvons représenter n’importe quoi – mais cela signifie que nous en avons besoin de beaucoup.
Pour comprendre un nombre en binaire, pour les nombres entiers, nous devons reconnaître que le chiffre binaire le plus significatif (ou bit en abrégé) est à gauche et le bit le moins significatif est à droite. En regardant de droite à gauche, chaque bit représente une puissance supérieure de 2 (car le binaire est en base 2). Ainsi, le nombre binaire 1101 est, en regardant chaque bit de droite à gauche : 1 x20 + 0 x21 + 1 x22 + 1 x23 = 1 + 0 + 4 + 8 = 13.
Ou, le nombre binaire 1 000 est 0 x20 + 0 x21 + 0 x22 + 1 x23 = 0 + 0 + 0 + 8 = 8.
Comme avec tout système de numérotation, utilisez plus de chiffres et vous pouvez représenter des nombres plus grands. Nous pouvons également représenter des nombres fractionnaires ou à virgule flottante en ajoutant un point notionnel. Donc 0111.0101 devient 1 x20 + 1 x21 + 1 x22 + 0 x23 = 7 pour toute la partie, et (cette fois en travaillant de gauche à droite à partir du point) 0 x2-1 + 1 x2-2 + 0 x2-3 + 1 x2-4 = 1/4 + 1/16 = 0,3125, ce qui fait le nombre 7,3125.
Cependant, représenter des nombres négatifs en binaire peut être plus délicat – il existe en fait trois méthodes différentes ! Le plus simple est simplement d’utiliser un bit de rechange sur la gauche, donc si 00111 est 7, alors 10111 est -7. Mais l’approche la plus courante dans les ordinateurs est appelée complément à deux. Dans cette approche pour représenter un nombre négatif, nous inversons tous les bits et ajoutons 1. Donc si 00111 est 7 alors 11000+1 = 11001 représente -7. Pour inverser le signe, nous inversons les bits et ajoutons à nouveau 1 : 00110+1 = 00111. Intelligent, hein ?
