Vous n’avez probablement jamais beaucoup pensé aux triangles. Grâce aux faiblesses de l’histoire, les triangles ont passé la majeure partie de l’histoire à l’ombre du cercle. Les cercles sont considérés comme ayant des propriétés quasi mystiques, principalement parce que le rapport de leur circonférence à leur diamètre – vous l’appelez pi – est devenu une célébrité mathématique. Il obtient même son propre jour dans le calendrier nerd. Mais, comme je l’ai découvert en recherchant mon livre L’art de plus, les triangles ont été sérieusement sous-estimés.
Vous connaissez probablement certaines des bases. Il y a le théorème de Pythagore, par exemple, qui était en fait utilisé 1 000 ans avant la naissance de Pythagore. Les civilisations anciennes telles que les Babyloniens et les Égyptiens l’utilisaient pour l’arpentage et pour créer des coins parfaitement carrés pour leurs bâtiments : faites un nœud dans une longue corde à des intervalles de 3, 4 et 5 unités, et vous pouvez utiliser ces nœuds comme coin- points qui créent un triangle avec un angle droit parfait entre les côtés qui mesurent 3 et 4 unités de long. Les anciens avaient aussi d’autres astuces triangulaires : les triangles « similaires », par exemple, permettent d’estimer la distance jusqu’à un navire amarré au large.
Mais ce ne sont que les utilisations les plus élémentaires du triangle. Les triangles étaient aussi les formes qui nous ont apporté la science de l’optique, à travers les travaux du mathématicien arabe Ibn Al-Haytham. Traductions de son Livre d’optique a conduit à des dessins triangulaires avec une perspective réaliste qui ont commencé à la Renaissance, et finalement à la création de lentilles et de télescopes, et tout ce qu’ils ont apporté à notre compréhension du cosmos et du monde microscopique.
Les propriétés des triangles sont également à l’origine des algorithmes de compression des milliers de milliards de fichiers JPEG et MPEG qui circulent aujourd’hui dans notre monde connecté. En fait, la conception et la fonction de tous les appareils électroniques, y compris la génération et la transmission de l’énergie électrique qui les alimentent, dépendent de notre compréhension des propriétés des triangles. Mais peut-être que l’impact mondial le plus important des triangles est venu avec la navigation.
« La navigation n’est rien de plus qu’un triangle rectangle », a déclaré le navigateur français Guillaume Denys en 1683. Il fait référence à ce que nous appelons un triangle rectangle : les propriétés de cette forme, a-t-il dit, sont tout ce qu’un marin a besoin de comprendre pour contourner.
Lorsque les navires déviaient de leur trajectoire pendant un voyage, que ce soit à cause de vents défavorables, d’une île sur le chemin ou parce qu’ils étaient attaqués par des pirates, l’équipage utilisait les mathématiques des triangles rectangles pour les remettre sur la bonne voie. Ces mathématiques sont portées par des mots qui peuvent sembler familiers de votre propre école : sinus et cosinus. En termes simples, ce sont des nombres liés aux rapports des longueurs des côtés d’un triangle rectangle particulier.
Les marins médiévaux portaient des tables de sinus et de cosinus, ou un quadrant sinecal, un outil simple qui permettait de les découvrir en cours de route. Mais s’ils ne voulaient pas du tout s’engager avec les sinus et les cosinus, ils pouvaient simplement utiliser deux outils simples : la rose des vents et le toleta de martelioio.
La rose des vents a chaque quart de la boussole divisé en huit « rhumbs », qui décrivent la direction. Le premier quart, par exemple, a le nord par l’est, le nord-nord-est, le nord par le nord-est, la plaine nord-est, et ainsi de suite.
Les toleta de martelioio était une table de nombres liés aux sinus et cosinus, conçue spécifiquement pour un usage maritime. Les chiffres indiquaient aux marins comment corriger leur cap si le vent, ou quelque chose d’autre, avait détourné le voyage. Si vous savez combien de milles vous avez parcourus hors route et combien de rhumbs hors du cap souhaité vous avez parcouru, le toleta donne ensuite la distance à parcourir sur un nouveau cap avant de vous remettre sur la bonne voie. Et pas un sinus en vue.
Au XVe siècle, le prince Henri de Portugal a rassemblé autant de connaissances qu’il le pouvait afin d’établir une école pour marins chrétiens qui permettrait à sa foi de dominer l’exploration du monde. L’un des bénéficiaires de cela était Christophe Colomb, qui a utilisé ce qu’il avait appris sur les triangles pour essayer de naviguer vers l’ouest jusqu’aux Indes – trébuchant accidentellement sur les Amériques dans le processus.
La navigation moderne repose également sur des triangles. En 1972, la NASA a lancé Landsat-1, le premier satellite construit pour étudier la géographie de la Terre. Pour les initiés, il était clair que le satellite pourrait également fournir un tout nouveau type de carte du monde, et deux ans plus tard, le coordinateur cartographique du United States Geological Survey (USGS) a publié un article décrivant une projection mathématique appropriée.
En savoir plus sur la géométrie :
Alden Colvocoresses – Colvo pour ses amis – a imaginé une carte qui rendrait compte du mouvement du scanner du satellite, de l’orbite du satellite, de la rotation de la Terre, et de la façon dont l’axe de cette rotation évolue dans un cycle de 26 000 ans grâce à la Terre ‘précession’. Afin d’éviter les distorsions, la carte aurait la forme d’un cylindre, et la surface de ce cylindre oscillerait d’avant en arrière le long du grand axe du cylindre.
De cette façon, il n’y aurait pas de distorsions désastreuses car les données du satellite étaient compilées dans une carte. C’était une idée audacieuse. Mais personne à la NASA ou à l’USGS ne savait comment faire l’analyse géométrique requise pour construire réellement la projection.
L’homme qui a finalement résolu les complexités s’appelait John Parr Snyder. Snyder a entendu parler du problème pour la première fois en 1976, après que sa femme lui ait acheté un cadeau d’anniversaire plutôt ringard pour son 50e anniversaire : un billet pour assister à « The Changing World of Geodetic Science », une convention de cartographie à Columbus, Ohio.
Colvo a donné le discours et a exposé son problème. Snyder était accro. Il a passé cinq mois de ses soirées et de ses week-ends à le résoudre, utilisant sa chambre d’amis comme bureau et rien de plus technique qu’une calculatrice de poche programmable Texas Instruments TI-56. Presque immédiatement, l’USGS a donné un emploi à Snyder.
La « projection spatiale oblique de Mercator » de Snyder a été une étape essentielle vers la construction de cartes satellites de notre planète. Celles-ci sont vitales pour tout dans la civilisation du 21e siècle, des opérations militaires et de la navigation aux prévisions météorologiques, à la conservation de l’environnement et à la surveillance du climat.
La projection de Snyder nous a donné Google Maps, Apple Maps, le GPS de votre voiture et toutes les autres technologies de cartographie numérique auxquelles vous pouvez penser. Son calcul consiste à appliquer 82 équations à chacun des points de données sur l’image satellite. C’est terriblement complexe, mais il suffit de dire que cela implique un ensemble complexe de sinus et de cosinus.
Des milliers d’années après avoir découvert ses propriétés pour la première fois, nous exploitons toujours la puissance du triangle.
L’art de plus : comment les mathématiques ont créé la civilisation de Michael Brooks est maintenant disponible (18,99 £, Scribe).
